Liban
Mai
2015
Bac
Spécifique
Tle
Mathématiques
Suite, intégration, algorithme
Algorithmique
Intégration
Suites
.icon_annales.png Quelles conjectures concernant le comportement de la suite peut-on émettre ?

Sujet 5Suite, intégration, algorithme1 h 10

Liban, mai 2015

Enseignement spécifique

Suites

Intégration

Algorithmique

Exercice

6 pts

On définit la suite (un) de la façon suivante :

pour tout entier naturel n, u n   =   ∫ 0 1   x n 1  +  x  dx .

1 Calculer u 0   =   ∫ 0 1 1 1  +  x   dx . 0,75 pt

2 a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n + 1   +   u n   =   1 n  +  1 . 0,75 pt

b. En déduire la valeur exacte de u1. 0,75 pt

3 a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un), où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables :

i et n sont des entiers naturels

u est un réel

Entrée :

Saisir n

Initialisation :

Affecter à u la valeur…

Traitement :

Pour i variant de 1 à…

Affecter à u la valeur…

Fin de Pour

Sortie :

Afficher u

0,75 pt

b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n

0

1

2

3

4

5

10

50

100

un

0,6931

0,3069

0,1931

0,1402

0,1098

0,0902

0,0475

0,0099

0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut-on émettre ? 0,75 pt

4 a. Démontrer que la suite (un) est décroissante. 0,75 pt

b. Démontrer que la suite (un) est convergente. 0,75 pt

5 On appelle ℓ la limite de la suite (un). Démontrer que ℓ = 0. 0,75 pt

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