Exercice

Soit (v_n) la suite définie par v₁ = ln(2) et, pour tout entier naturel n non nul :

v n+1 =ln(2– e – v n ).

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul.

On définit ensuite la suite (S_n) pour tout entier naturel n non nul par :

S n = ∑ k=1 n v k = v 1 + v 2 +…+ v n.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de (S_n).

Partie A Conjectures à l’aide d’un algorithme

1 Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S_n pour une valeur de n choisie par l’utilisateur :

0,75 pt

2 À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de S_n. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite (S_n). 0,5 pt

Partie B Étude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturel n non nul, on définit la suite (u_n) par u n = e v n.

1 Vérifier que u₁ = 2 et que, pour tout entier naturel n non nul :

u n+1 =2– 1 u n. 0,5 pt

2 Calculer u₂, u₃ et u₄. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. 0,5 pt

3 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n+1 n. 0,75 pt

Partie C Étude de (Sn).

1 Pour tout entier naturel n non nul, exprimer v_n en fonction de u_n, puis v_n en fonction de n. 0,75 pt

2 Vérifier que S₃ = ln(4). 0,5 pt

3 Pour tout entier naturel n non nul, exprimer S_n en fonction de n. En déduire la limite de la suite (S_n). 0,75 pt