Exercice

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

f(x)=5– 4 x+2.

On admettra que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

On a tracé ci-après dans un repère orthonormé la courbe 𝒞 représentative de f ainsi que la droite 𝒟 d’équation y = x.

1 Démontrer que f est croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

2 Résoudre l’équation f (x) = x sur l’intervalle [0 ; + ∞[. On note α la solution. On donnera la valeur exacte de α, puis on en donnera une valeur approchée à 10 ^– 2 près.

3 On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 1 et, pour tout entier naturel n :

u_n + 1 = f (u_n).

Sur la figure ci-avant, en utilisant la courbe 𝒞 et la droite 𝒟, placer les points M₀, M₁ et M₂ d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives u₀, u₁ et u₂. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (u_n) ?

4 a. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n :

0 ≤ u_n ≤ u_n + 1 ≤ α

où α est le réel défini dans la question 2.

b. Peut-on affirmer que la suite (u_n) est convergente ? On justifiera la réponse.

5 Pour tout entier naturel n, on définit la suite (S_n) par :

S n = ∑ k=0 n u k = u 0 + u 1 +…+ u n.

a. Calculer S₀, S₁ et S₂. Donner une valeur approchée des résultats à 10^– 2 près.

b. Compléter l’algorithme donné ci-après pour qu’il affiche la somme S_n pour la valeur de l’entier n demandée à l’utilisateur.

c. Montrer que la suite (S_n) diverge vers + ∞.