Exercice

Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.

L’étude révèle que :

● Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu’elle pratique le snowboard l’hiver suivant est égale à 0,2.

● Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu’elle pratique le ski de piste l’hiver suivant est égale à 0,3.

On note S l’état « la personne pratique le ski de piste » et S ¯ l’état « la personne pratique le snowboard ».

On note également pour tout entier naturel n :

● p_n la probabilité qu’une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ;

q_n la probabilité qu’une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ;

● P n =( p n q n ) la matrice ligne donnant l’état probabiliste du système lors du n-ième hiver.

On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc P 0 =( 1 0 ).

Partie A

1 Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets S et S ¯.

2 a. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.

b. Calculer M².

c. Déterminer l’état probabiliste P₂.

3 Montrer que pour tout entier naturel n :

p n+1 =0,5 p n +0,3.

4 On considère l’algorithme suivant :

Recopier et compléter la ligne ➅ de cet algorithme afin d’obtenir la probabilité p_N.

Partie B

On considère, pour tout entier naturel n, l’événement S_n « la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ». La probabilité de l’événement S_n est notée p(S_n). On a donc p_n = p(S_n).

On sait d’après la partie A que pour tout entier naturel n, p n+1 =0,5 p n +0,3.

Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = p_n - 0,6.

1 Démontrer que la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de u₀.

2 En déduire l’expression de u_n en fonction de n puis l’expression de p_n en fonction de n.

3 Déterminer la limite de la suite (p_n) et interpréter le résultat.

Partie C

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-après.

Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas. Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages. Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaines de mètres, entre deux sommets.

Déterminer, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I.