14Fonction rationnelle, Aire, Suite d’aires45 min
Amérique du Sud, juin 2005
Suites
Intégration
Exercice
5 pts
Les courbes ℋ1 et ℋ2 représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation :
y=1x et y=2x.
On note 𝒟2 le domaine délimité par les courbes ℋ1 et ℋ2 et les droites d’équation x=2 et x=3.
On note 𝒟 ′2 le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe ℋ1 et les droites d’équation x=2 et x=3.
1 Colorier les domaines 𝒟2 et 𝒟 ′2 d’une couleur différente et montrer qu’ils ont la même aire.
Soit n un entier naturel strictement positif. On note un l’aire du domaine 𝒟n délimité par les courbes ℋ1 et ℋ2 et les droites d’équation x=n et x=n+1.
2 Exprimer un en fonction de n.
3 Montrer que la suite (un) est décroissante.
On pourra comparer les nombres n(n+2) et (n+1)2.
4 Étudier la convergence de la suite (un).
5 Déterminer la plus grande valeur de n telle que l’aire du domaine 𝒟n reste supérieure à 110 d’unité d’aire. Soit N cette valeur.
6 Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes ℋ1 et ℋ2 et les droites d’équation x=1 et x=N.
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