4Lecture graphique, intégrale, logiciel de calcul formel45 min
Polynésie, septembre 2015
Fonctions
Intégration
Exercice
5 ptsOn considère une fonction P définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 60].
On donne, ci-dessous, la courbe représentative 𝓒 de la fonction P.
Partie A
À partir d’une lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :
1 En argumentant la réponse, donner le signe de P′(54), où P′ est la fonction dérivée de P.
2 Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe.
3 Donner, à l’unité près, les solutions de l’équation P(x) = 10.
4 On note A le nombre ; choisir l’encadrement qui convient pour A :
a. 0 < A < 60 ; b. 60 < A < 70 ; c. 6 < A < 7 ; d. 10 < A < 11.
Partie B
La fonction P est définie sur l’intervalle [0 ; 60] par :
.
À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :
Actions | Résultats |
definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5)) | x↦6+(60-x)*exp(0.1*x-5) |
deriver(P(x),x) | (-0.1*x+5)*exp(0.1*x-5) |
deriver(deriver(P(x),x),x) | (-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5) |
1 a. Étudier le signe de P′(x) sur l’intervalle [0 ; 60], où P′ est la fonction dérivée de P.
b. En déduire les variations de la fonction P sur l’intervalle [0 ; 60] et vérifier que la fonction P admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.
2 Montrer que l’équation P(x) = 10 a une solution unique x0 sur l’intervalle [0 ; 40]. Donner une valeur approchée de x0 à 0,1 près.
3 En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction P.
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