Exercice

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L’entreprise BBE (Bio Bois énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

● Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

C( x )=0,3 x 2 −x+ e −x+5

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et C(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

● Dans l’entreprise BBE, le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros. La recette quotidienne de l’entreprise est donc donnée par la fonction R définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

R( x )=3x

où x désigne la quantité de granulés en tonnes et R(x) la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.

● On définit par D(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x) et le coût C(x), où x désigne la quantité de granulés en tonnes.

Partie AÉtude graphique

Sur le graphique ci-après, on donne 𝓒 et Δ les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.

Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n’est demandée.

1 Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal. 0,25 pt

2 a. Déterminer les valeurs C(6) et R(6), puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus. 0,5 pt

b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice. 0,5 pt

Partie BÉtude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; 15] par :

g( x )=−0,6x+4+ e −x+5 .

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g′ sa fonction dérivée.

1 a. Calculer g′(x) pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15]. 0,5 pt

b. En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle [1 ; 15]. 0,25 pt

2 a. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 15], en précisant les valeurs g(1) et g(15) arrondies à l’unité. 0,5 pt

b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 15].

Donner une valeur approchée de α à 0,1 près. 0,5 pt

c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g(x) sur l’intervalle [1 ; 15]. 0,5 pt

Partie CApplication économique

1 Démontrer que pout tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a :

D( x )=−0,3 x 2 +4x− e −x+5 . 0,5 pt

2 On admet que la fonction D est dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D′ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 15], on a D′(x) = g(x), où g est la fonction étudiée dans la partie B. 0,5 pt

3 En déduire les variations de la fonction D sur l’intervalle [1 ; 15]. 0,5 pt

4 a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?

On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. 0,5 pt

b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près. 0,5 pt