Exercice

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

● elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

● la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

● elle doit mesurer cinq mètres de long ;

● elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-dessous.

La partie incurvée est modélisée par la courbe 𝒞_f de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

f(x)=xln( x 2 )–x+2.

La courbe 𝒞_f est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

1 Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe 𝒞_f et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe 𝒞_f au point I. 0,75 pt

2 On note 𝒯 la tangente à la courbe 𝒞_f au point B, et D le point d’intersection de la droite 𝒯 avec l’axe des abscisses.

a. Déterminer une équation de la droite 𝒯 et en déduire les coordonnées de D. 0,75 pt

b. On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe 𝒞_f, les droites d’équation y = 2, x = 2 et x = 2e. S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB.

Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ? 0,75 pt

3 a. Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

G(x)= x 2 2 ln( x 2 )– x 2 4

est une primitive de la fonction g définie par g(x)=xln( x 2 ). 0,75 pt

b. En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e]. 0,75 pt

c. Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m³ près. 0,75 pt

Partie B

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m³, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est à égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

v(x)=5( x 2 2 ln( x 2 )–2xln( x 2 )– x 2 4 +2x–3 ).

1 Quel volume d’eau, au m³ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ? 0,75 pt

2 On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-dessous :

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher. 0,75 pt