Exercice

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’équation suivante d’inconnues x et y entiers relatifs :

7x – 3y = 1 (E).

1 Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu’il donne les solutions entières (x ; y) de l’équation (E) vérifiant :

– 5 ≤ x ≤ 10     et     – 5 ≤ y ≤ 10.          0,5 pt

2 a. Donner une solution particulière de l’équation (E).          0,25 pt

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).          0,5 pt

c. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) tels que :

– 5 ≤ x ≤ 10 et – 5 ≤ y ≤ 10.          0,5 pt

Partie B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; u → , v → ) .

On considère la droite 𝒟 d’équation :

7x – 3y – 1 = 0.

On définit la suite (A_n) de points du plan de coordonnées (x_n ; y_n) vérifiant pour tout n entier naturel :

{ x 0 =1 y 0 =2 et{ x n+1 = –13 2 x n +3 y n y n+1 = –35 2 x n +8 y n

1 On note M la matrice ( –13 2 3 –35 2 8 ) . Pour tout entier naturel n, on pose X n =( x n y n ) .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, X_{n + 1} = MX_n.          0,25 pt

b. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel n, X_n en fonction de Mⁿ et X₀.         0,5 pt

2 On considère la matrice P=( –2–3 –5–7 ) et on admet que la matrice inverse de P, notée P^– 1, est définie par P –1 =( 7–3 –52 ) .

a. Vérifier que P ^– 1M P est une matrice diagonale D que l’on précisera.         0,5 pt

b. Pour tout entier naturel n, donner Dⁿ sans justification.         0,5 pt

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

Mⁿ = P Dⁿ P ^– 1.         0,5 pt

3 On admet que, pour tout entier naturel n, M n =( –14+ 15 2 n 6– 6 2 n –35+ 35 2 n 15– 14 2 n ) .

En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de x_n et de y_n en fonction de n.         0,5 pt

4 Montrer que, pour tout entier naturel n, le point A_n appartient à la droite 𝒟.          0,5 pt