Exercice

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile (photo ci-dessous) à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

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On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O; u → , v → ).

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes :

z k =( 1+ k n ) e i 2kπ n

et on note M_k le point d’affixe z_k.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points M_k avec 0 ≤ k ≤ n.

Par exemple, pour les entiers n = 6, n = 10 et n = 20, on obtient les figures ci-dessous :

Partie A Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que n = 6.

Ainsi, pour 0 ≤ k ≤ 6, on a :

z k =( 1+ k 6 ) e i 2kπ 6.

1 Déterminer la forme algébrique exacte de z₁. 0,5 pt

2 Vérifier que z₀ et z₆ sont des entiers, que l’on déterminera. 0,5 pt

3 Calculer la longueur de la hauteur issue de M₁ dans le triangle OM₀M₁, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7 3 24. 0,5 pt

Partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

1 Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OM_k. 0,5 pt

2 Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n – 1, déterminer une mesure des angles :

( u → , OM k → )et( u → , OM k+1 → ).

En déduire une mesure de l’angle ( OM k → , OM k+1 → ). 0,5 pt

3 Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n – 1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de M_{k + 1} dans le triangle OM_kM_{k + 1} est égale à :

( 1+ k+1 n )×sin( 2π n ). 0,75 pt

4 On admet que l’aire du triangle OM_kM_{k + 1} est égale à :

a k = 1 2 sin( 2π n )×( 1+ k n )( 1+ k+1 n )

et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à :

A_n = a₀ + a₁ +… + a_{n – 1}.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire A_n lorsqu’on entre l’entier n :

On entre dans l’algorithme n = 10.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme : 1 pt

5 On admet que A₂ = 0, que la suite (A_n) converge et que :

lim n→+∞ A n = 7π 3 ≈7,3.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-dessous, qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que A_n ≥ 7,2. On ne demande pas de déterminer n. 0,75 pt