Exercice

Une étude statistique sur une population d’acheteurs a montré que :

● 90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.

● 60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.

Dans toute la suite de l’exercice, n désigne un entier naturel non nul. Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :

● a_n la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat sur Internet ;

● b_n la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat en magasin. On suppose de plus que a₁ = 1 et b₁ = 0.

On note P_n = (a_n b_n) l’état probabiliste correspondant au n-ième achat.

Ainsi P₁ = (1   0)

On note :

● A l’état « la personne effectue son achat sur Internet » ;

● B l’état « la personne effectue son achat en magasin ».

1 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 0,5 pt

2 Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. 0,5 pt

3a. Calculer la matrice M⁴. 0,5 pt

b. En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5^e achat sur Internet est égale à 0,812 5. 0,5 pt

4 On note P = (a  b) 1’état stable associé à ce graphe.

a. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système :

{ 0,1a−0,4b=0 a+b=1 0,5 pt

b. Résoudre le système précédent. 0,5 pt

c. À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet ? 0,5 pt

5a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

a_n+1 = 0,5a_n + 0,4. 0,5 pt

b. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que a_n ≤ 0,801.

c. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ?  0,5 pt