Exercice

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T₀ = 25 °C et on la place dans un four à température constante T_F = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note T_n la température en degré Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T₀ = 25.

Pour n non nul, la valeur T_n est calculée, puis affichée par l’algorithme suivant :

1 Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité. 0,5 pt

2 Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :

T_n = 100 – 75 × 0,85ⁿ. 0,75 pt

3 Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ? 0,5 pt

Partie B Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f( t )=100–75 e – ln5 10 t .

1 a. Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[. 0,5 pt

b. Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ 85. 0,5 pt

2 Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note 𝒜(θ) l’aire du domaine 𝒟(θ) délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative 𝒞_f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire 𝒜(θ), exprimée en unité d’aire, du domaine 𝒟(θ) est supérieure à 80.

a. Justifier, à l’aide du graphique, que l’on a 𝒜(25) > 80. 0,75 pt

b. Justifier que, pour θ ≥ 10, on a :

𝒜(θ)=15(θ–10)–75 ∫ 10 θ e – ln5 10 t dt. 0,75 pt

c. La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ? 0,75 pt