Exercice

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (A_n) par leurs coordonnées (x_n ; y_n) de la façon suivante :

{ x 0 =–3 y 0 =4 et pour tout entier naturel n, { x n+1 =0,8 x n –0,6 y n y n+1 =0,6 x n +0,8 y n

1 a. Déterminer les coordonnées des points A₀, A₁, et A₂. 0,5 pt

b. Pour construire les points A_n ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A₀ à A₂₀. 0,5 pt

c. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :

Identifier les points A₀, A₁ et A₂. On les nommera sur la figure ci-avant.

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points A_n pour tout n entier naturel ? 0,5 pt

2 Le but de cette question est de construire géométriquement les points A_n pour tout n entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, z_n = x_n + iy_n l’affixe du point A_n.

a. Soit u_n = | z_n |. Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? 1 pt

b. On admet qu’il existe un réel θ tel que cosθ = 0,8 et sinθ = 0,6.
Montrer que, pour tout entier naturel n, e^iθz_n = z_n + 1. 0,5 pt

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, z_n = e^inθz₀. 0,5 pt

d. Montrer que θ+ π 2 est un argument du nombre complexe z₀. 0,5 pt

e. Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe z_n. Représenter θ sur la figure ci-dessus. 0,5 pt

Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point A_n + 1 à partir du point A_n. 0,5 pt