Exercice

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

1 On considère l’algorithme suivant :

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. 0,5 pt

0,5 pt

b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. 0,5 pt

2 On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite (C_n), le terme C_n donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année 2014 + n. Ainsi C₀ = 300 est le nombre de colonies en 2014.

a. Exprimer, pour tout entier n, le terme C_{n + l} en fonction de C_n.
0,75 pt

b. On considère la suite (V_n) définie, pour tout entier n, par V_n = 625 - C_n·

Montrer que pour tout nombre entier n, on a V_{n + l} = 0,92 × V_n·
0,5 pt

c. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

C_n = 625 - 325 × 0, 92ⁿ.
0,75 pt

d. Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? 0,5 pt

3 L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a. Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? 0,75 pt

b. Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. 0,75 pt