Exercice

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1^er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois sur l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.

1 Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1^er février 2016. 0,75 pt

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique (u_n), où u_n représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de n mois après le 1^er janvier 2016.

La suite (u_n) est donc définie par u₀ = 4 et, pour tout entier naturel n :

u_n +1 = 0,92u_n + 8.

2 On considère l’algorithme suivant :

a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième.

b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 1 pt

3 On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

v_n = u_n −100.

a. Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme v₀. 0,5 pt

b. Donner l’expression de v_n en fonction de n. 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

u_n = 100 − 96 × 0,92ⁿ.    0,5 pt

4 En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000. 1 pt