Exercice

Les nombres de la forme 2ⁿ – 1, où n est un entier naturel non nul, sont appelés nombres de Mersenne.

1 On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que :

PGCD (b ; c) = 1.

Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que si b divise a et c divise a, alors le produit bc divise a. 0,5 pt

2 On considère le nombre de Mersenne 2³³ – 1.

Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

Il affirme que 3 divise (2³³ – 1) et 4 divise (2³³ – 1) et 12 ne divise pas (2³³ – 1).

a. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1 ? 0,5 pt

b. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas (2³³ – 1). 0,5 pt

c. En remarquant que 2 ≡ – 1[3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 2³³ – 1. 0,5 pt

d. Calculer la somme S = 1 + 2³ + (2³)² + (2³)³ + … + (2³)¹⁰. 0,5 pt

e. En déduire que 7 divise (2³³ – 1). 0,5 pt

3 On considère le nombre de Mersenne 2⁷ – 1. Est-il premier ? Justifier. 0,5 pt

4 On donne l’algorithme suivant où MOD(N, k) représente le reste de la division euclidienne de N par k.

a. Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ? 0,5 pt

b. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ? 0,5 pt

c. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ? 0,5 pt