Exercice

On désire réaliser un portail comme indiqué ci-après. Chaque vantail mesure 2 mètres de large.

Partie A Modélisation de la partie supérieure du portail

On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

f(x)=( x+ 1 4 ) e –4x +b

où b est un nombre réel.

On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

1 a. Calculer f ′(x), pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 2].

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

2 Déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.

Dans la suite, la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

f(x)=( x+ 1 4 ) e –4x + 5 4.

Partie B Détermination d’une aire

Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0,05 m de hauteur du sol.

1 Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

F(x)=( – x 4 – 1 8 ) e –4x + 5 4 x

est une primitive de la fonction f.

2 En déduire l’aire en m² de chaque vantail. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10^– 2 près de cette aire. (On s’intéresse ici à l’objet « vantail » sans faire référence à son environnement).

Partie C Utilisation d’un algorithme

On désire réaliser un portail de même forme, mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m, espacées de 0,05 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir ci-après) et le bas de chaque planche à 0,05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de 0 ; ainsi, la première planche à gauche porte le numéro 0.

La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05 m.

1 Donner l’aire de la planche numéro k.

2 Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite.