Exercice

On considère f la fonction définie sur ℝ par :

f( x )=x e −x +1.

On note 𝒞_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère ortho normé du plan et f′ la fonction dérivée de f.

1 a. Montrer que, pour tout réel x, f ′ ( x )= e −x ( 1−x ).

b. En déduire le sens de variation de f sur ℝ.

2 a. Montrer que l’équation f( x )=0 admet une unique solution α sur l’intervalle [ −1;0 ].

b. Donner un encadrement de α à 10^– 1 près.

3 Montrer que l’équation réduite de la tangente T à 𝒞_f au point d’abscisse 0 est y=x+1.

4 L’objectif de cette question est de déterminer la position relative de 𝒞_f par rapport à T.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel x, l’expression et le signe de f ″ ( x ), où f ″ désigne la dérivée seconde de f.

a. Déterminer le sens de variation de la dérivée f ′ de la fonction f sur ℝ.

b. Déterminer l’intervalle de ℝ sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave.

c. En déduire la position relative de 𝒞_f par rapport à T sur l’intervalle ] −∞;2 ].

5 On a tracé ci-après la courbe 𝒞_f et la tangente T dans un repère orthonormé.

a. On considère la fonction F définie sur ℝ par :

F( x )= e −x ( −1−x )+x.

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ℝ.

b. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine colorié compris entre la courbe 𝒞_f, la tangente T et les droites d’équations x=0 et x=1, puis donner le résultat arrondi à 10^– 3 près.