Exercice

La courbe (𝒞) ci-après représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [– 4 ; 3]. Les points A d’abscisse – 3 et B(0 ; 2) sont sur la courbe (𝒞).

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (𝒞) respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note f ′ la fonction dérivée de f.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1 Par lecture graphique, déterminer :

a. f ′ (– 3) ;
0,5 pt

b. f (0) et f ′(0).
0,75 pt

2 La fonction f est définie sur [- 4 ; 3] par f (x) = a + (x + b)e^– x où a et b sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a. Calculer f ′(x) pour tout réel x de [– 4 ; 3]. 0,5 pt

b. À l’aide des questions 1.b. et 2.a., montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant :

{ a+b=2 1−b=−3
0,75 pt

c. Déterminer alors les valeurs des nombres a et b. 0,5 pt

Partie B

On admet que la fonction f est définie sur[– 4 ; 3] par :

f (x) = – 2 + (x + 4)e^– x.

1 Justifier que, pour tout réel x de [– 4 ; 3], f ′(x) = (– x – 3)e^– x et en déduire le tableau de variation de f sur [– 4 ; 3]. 0,75 pt

2 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [– 3 ; 3], puis donner une valeur approchée de α à 0,01 près par défaut. 0,75 pt

3 On souhaite calculer l’aire S, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe (𝒞), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = – 3 et x = 0.

a. Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale. 0,75 pt

b. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire S, puis sa valeur arrondie au centième. 0,75 pt