Exercice

Partie A Étude d’une fonction

On considère la fonction  f définie sur l’intervalle ]1 ; + ∞[ par :

f(x)= x lnx.

On a tracé ci-avant, dans un repère orthogonal, la courbe 𝒞 représentative de la fonction  f, ainsi que la droite 𝒟 d’équation y = x.

1 Calculer les limites de la fonction  f en + ∞ et en 1.

2 Étudier les variations de la fonction  f sur l’intervalle ]1 ; + ∞[.

3 En déduire que si x ≥ e, alors f(x) ≥ e.

Partie B Étude d’une suite récurrente

On considère la suite (u_n) définie par :

{ u 0 =5 pourtoutentiernatureln, u n+1 =f( u n ).

1 Sur la figure ci-avant, en utilisant la courbe 𝒞 et la droite 𝒟, placer les points A₀, A₁ et A₂ d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u₀, u₁ et u₂. On laissera apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (u_n) ?

2 a. Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n ≥ e.

b. Déterminer les variations de la suite (u_n).

c. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

c. Déterminer sa limite ℓ.

3 On donne l’algorithme suivant :

À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.