Exercice

Les courbes ℋ₁ et ℋ₂ représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation :

y= 1 x et y= 2 x.

On note 𝒟₂ le domaine délimité par les courbes ℋ₁ et ℋ₂ et les droites d’équation x=2 et x=3.

On note 𝒟 ′ 2 le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe ℋ₁ et les droites d’équation x=2 et x=3.

1 Colorier les domaines 𝒟₂ et 𝒟 ′ 2 d’une couleur différente et montrer qu’ils ont la même aire.

Soit n un entier naturel strictement positif. On note u_n l’aire du domaine 𝒟_n délimité par les courbes ℋ₁ et ℋ₂ et les droites d’équation x=n et x=n+1.

2 Exprimer u_n en fonction de n.

3 Montrer que la suite ( u n ) est décroissante.

On pourra comparer les nombres n( n+2 ) et ( n+1 ) 2.

4 Étudier la convergence de la suite ( u n ).

5 Déterminer la plus grande valeur de n telle que l’aire du domaine 𝒟_n reste supérieure à 1 10 d’unité d’aire. Soit N cette valeur.

6 Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes ℋ₁ et ℋ₂ et les droites d’équation x=1 et x=N.