Exercice

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère (A; AB → , AD → , AE → ), on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M( 1;1; 3 4 ), N( 0; 1 2 ;1 ), P( 1;0;– 5 4 ).

1 Placer M, N et P sur la figure donnée ci-dessous.

2 Déterminer les coordonnées des vecteurs MN → et MP →.

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

3 On considère l’algorithme 1 donné ci-après.

a. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-avant.

b. À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

4 On considère l’algorithme 2 donné ci-dessous. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

5 On considère le vecteur n → (5;–8;4) normal au plan (MNP).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

b. On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur n →.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.

6 Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite Δ.

a. Démontrer que les coordonnées du point K sont ( 4 7 ; 24 35 ; 23 35 ).

b. On donne FK= 27 35.

Calculer le volume du tétraèdre MNPF.