Sujet 3Suite, algorithme1 heure
Antilles-Guyane, juin 2015
Suites
Algorithmique
Exercice
5 ptsPartie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables : | k et p sont des entiers naturels |
u est un réel | |
Entrée : | Demander la valeur de p |
Traitement : | Affecter à u la valeur 5 |
Pour k variant de 1 à p | |
Affecter à u la valeur 0,5u + 0,5(k – 1) – 1,5 | |
Fin de pour | |
Sortie : | Afficher u |
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ? 0,75 pt
Partie B
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par :
un+1 = 0,5un + 0,5n – 1,5.
1 Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de un pour n variant de 1 à p. 0,75 pt
2 À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n | 1 | 2 | 3 | 4 |
un | 1 | – 0,5 | – 0,75 | – 0,375 |
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un) est décroissante ? Justifier. 0,75 pt
3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 :
un+1 > un.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un) ? 0,75 pt
4 Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par :
vn = 0,1un – 0,1n + 0,5.
Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,5 et exprimer alors vn en fonction de n. 0,75 pt
5 En déduire que, pour tout entier naturel n :
un = 10 × 0,5n + n – 5. 0,75 pt
6 Déterminer alors la limite de la suite (un). 0,5 pt
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