Exercice

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (u_n) définie sur ℕ par u₀ = 3 et pour tout entier naturel n :

u n+1 = 1 2 ( u n + 7 u n )(*)

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, u_n > 0.

1 On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

f(x)= 1 2 ( x+ 7 x ).

Démontrer que la fonction f admet un minimum.

En déduire que pour tout entier naturel n, u n ≥ 7 .

2 a. Soit n un entier naturel quelconque.

Étudier le signe de u_n + 1 – u_n.

b. Pourquoi peut-on en déduire que la suite (u_n) est convergente ?

c. On déduit de la relation (*) que la limite ℓ de cette suite est telle que ℓ= 1 2 ( ℓ+ 7 ℓ ). Déterminer ℓ.

3 Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+1 – 7 = 1 2 ( u n – 7 ) 2 u n .

4 On définit la suite (d_n) par d₀ = 1 et, pour tout entier naturel n :

d n+1 = 1 2 d n 2 .

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

u n – 7 ≤ d n .

a. Voici un algorithme :

En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.

Quelle inégalité peut-on en déduire pour d₅ ?

Justifier que u₅ est une valeur approchée de 7 à 10^– 9 près.