Exercice

Une retenue d’eau artificielle contient 100 000 m³ d’eau le 1^er juillet 2013 au matin. La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m³ pour l’irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite (V_n).

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m³ est V₀ = 100 000.

Pour tout entier naturel n supérieur à 0, V_n désigne le volume d’eau en m³ au matin du n-ième jour qui suit le 1^er juillet 2013.

1 a. Justifier que le volume d’eau V₁ au matin du 2 juillet 2013 est égal à 95 500 m³. 0,5 pt

b. Déterminer le volume d’eau V₂ au matin du 3 juillet 2013. 0,5 pt

c. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a V_n + 1 = 0,96 V_n – 500.
0,5 pt

2 Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d’eau, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu.

0,75 pt

3 On considère la suite (U_n) définie pour tout entier naturel n par :

U_n = V_n + 12 500.

a. Montrer que la suite (U_n) est une suite géométrique de raison 0,96. Préciser son premier terme. 0,75 pt

b. Exprimer U_n en fonction de n : 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout entier naturel n,

V_n = 112 500 × 0,96ⁿ − 12 500.
0,5 pt

4 a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

112 500 × 0,96ⁿ − 12 500 ≤ 0.
0,5 pt

b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. 0,5 pt