Exercice

Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d’épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros. Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu’à atteindre le plafond autorisé de 19 125 euros. On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.

Partie A

1 Calculer le montant des intérêts pour l’année 2014 et montrer que Monica disposera d’un montant de 7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015.

2 On note M_n le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l’année 2014 + n. On a donc M₀ = 6 000 et M_l = 7 035.

Montrer que, pour tout entier naturel n, M_n + l = 1,0225 M_n + 900.

Partie B

Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.

1 Première méthode

On considère la suite (G_n) définie pour tout entier naturel n, par G_n = M_n + 40 000.

a. Montrer que la suite (G_n) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier terme.

b. Donner l’expression de G_n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, M_n = 46 000 × 1,0225ⁿ – 40 000.

c. Déduire de l’expression de M_n obtenue en b. l’année à partir de laquelle le plafond de 19 125 euros sera atteint.

2 Deuxième méthode

L’algorithme ci-dessous permet de déterminer l’année à partir de laquelle le plafond sera atteint.

a. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu’il détermine l’année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels de 1 000 euros.

Indiquer sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.

b. Proposer une modification de la boucle conditionnelle pour que l’algorithme affiche également à l’écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.