Sujet 5Suite, intégration, algorithme1 h 10
Liban, mai 2015
Suites
Intégration
Algorithmique
Exercice
6 ptsOn définit la suite (un) de la façon suivante :
pour tout entier naturel n, un = ∫10 xn1 + x dx.
1 Calculer u0 = ∫1011 + x dx. 0,75 pt
2 a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un + 1 + un = 1n + 1. 0,75 pt
b. En déduire la valeur exacte de u1. 0,75 pt
3 a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (un), où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
Variables : | i et n sont des entiers naturels | |
u est un réel | ||
Entrée : | Saisir n | |
Initialisation : | Affecter à u la valeur… | |
Traitement : | Pour i variant de 1 à… | |
Affecter à u la valeur… | ||
Fin de Pour | ||
Sortie : | Afficher u | |
0,75 pt
b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 50 | 100 |
un | 0,6931 | 0,3069 | 0,1931 | 0,1402 | 0,1098 | 0,0902 | 0,0475 | 0,0099 | 0,0050 |
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut-on émettre ? 0,75 pt
4 a. Démontrer que la suite (un) est décroissante. 0,75 pt
b. Démontrer que la suite (un) est convergente. 0,75 pt
5 On appelle ℓ la limite de la suite (un). Démontrer que ℓ = 0. 0,75 pt
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