Exercice

À l’occasion d’un festival culturel, une agence de voyages propose trois types de transport pour permettre à chaque client de se rendre dans la ville organisatrice afin d’assister à la cérémonie d’ouverture.

Les trois moyens de transport proposés sont l’avion, le train ou le car.

À chacun des clients qui achètent un billet de transport, l’agence propose de souscrire une assurance multirisque qui permet, sous certaines conditions, une indemnisation en cas de retard ou de vol de bagages.

Une enquête montre que 55 % des clients choisissent l’avion, que 40 % choisissent le train et que les autres choisissent le car.

De plus, parmi les clients ayant choisi l’avion, 20 % ont souscrit l’assurance multirisque ; ils sont 8 % à choisir cette assurance parmi ceux qui ont choisi le voyage en train et seulement 4 % parmi ceux qui ont choisi le car.

On prend au hasard le dossier d’un client qui se rendra à la cérémonie d’ouverture du festival, chaque dossier ayant la même probabilité d’être choisi.

On note :

• A l’événement « le client a acheté un billet d’avion » ;

• T l’événement « le client a acheté un billet de train » ;

• C l’événement « le client a acheté un billet de car » ;

• S l’événement « le client a souscrit une assurance multirisque » et S ¯ son événement contraire.

1 Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2 Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d’un client qui voyagera en train et qui a souscrit une assurance multirisque. On donnera la valeur exacte de cette probabilité.

3 Montrer que la probabilité de l’événement S est égale à 0,144.

4 On prend un dossier au hasard parmi les clients n’ayant pas souscrit une assurance multirisque.

Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d’un client voyageant en train.

Le résultat sera donné arrondi au millième.

5 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On choisit trois dossiers au hasard, indépendamment les uns des autres.

Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au moins deux des dossiers concernent un client ayant souscrit l’assurance multirisque.