Exercice

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé (O; i → , j → ), une courbe 𝒞 et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (–1; 3).

On désigne par f la fonction dérivable sur ℝ dont la courbe représentative est 𝒞.

On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réel x :

f(x)=x+1+ax e – x 2.

1 a. Justifier que la courbe 𝒞 passe par le point A.

b. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

c. Démontrer que pour tout réel x :

f ′ (x)=1–a(2 x 2 –1) e – x 2.

d. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe 𝒞 au point A.

Déterminer la valeur du réel a.

2 D’après la question précédente, pour tout réel x :

f(x)=x+1–3x e – x 2 et f ′ (x)=1+3(2 x 2 –1) e – x 2.

a. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ]– 1; 0], f (x) > 0.

b. Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à – 1, f ′(x) > 0.

c. Démontrer qu’il existe un unique réel c de l’intervalle [ – 3 2 ;–1 ] tel que :

f (c) = 0.

Justifier que c<– 3 2 +2⋅ 10 –2.

3 On désigne par 𝒜 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par :

c ≤ x ≤ 0 et 0 ≤ y ≤ f (x).

a. Écrire 𝒜 sous la forme d’une intégrale.

b. On admet que l’intégrale I= ∫ – 3 2 0 f(x) dx est une valeur approchée de 𝒜 à 10^– 3 près.

Calculer la valeur exacte de l’intégrale I.