Exercice

1 On considère la fonction  f₁ définie sur [0 ; + ∞[ par :

f₁(x) = 2x – 2 + ln(x² + 1).

a. Déterminer la limite de f₁ en + ∞.

b. Déterminer la dérivée de f₁.

c. Dresser le tableau de variation de f₁.

2 Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction  f_n, définie sur [0 ; + ∞[ par :

f n (x)=2x–2+ ln( x 2 +1) n.

a. Déterminer la limite de  f_n en + ∞.

b. Démontrer que la fonction  f_n est strictement croissante sur [0 ; + ∞[.

c. Démontrer que l’équation f_n(x) = 0 admet une unique solution α_n sur [0 ; + ∞[.

d. Justifier que, pour tout entier naturel n, 0 < α_n < 1.

3 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, f_n(α_n + 1) > 0.

4 Étude de la suite (α_n)

a. Montrer que la suite (α_n ) est croissante.

b. En déduire qu’elle est convergente.

c. Utiliser l’expression α n =1– ln( α n 2 +1) 2n pour déterminer la limite de cette suite.