Exercice

Le but de l’exercice est de donner un encadrement du nombre I défini par :

I= ∫ 0 1 x 2 e x 1+x dx .

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f(x)= e x 1+x.

1 Étudier les variations de f sur [0 ; 1].

2 On pose, pour tout entier naturel n, S n = ∑ k=0 n f( k 5 ).

a. Justifier que pour tout entier k compris entre 0 et 4 :

1 5 f( k 5 )≤ ∫ k 5 k+1 5 e x 1+x dx≤ 1 5 f( k+1 5 ).

Interpréter graphiquement à l’aide de rectangles les inégalités précédentes.

b. En déduire que 1 5 S 4 ≤ ∫ 0 1 e x 1+x dx≤ 1 5 ( S 5 –1).

c. Donner des valeurs approchées à 10^– 4 près de S₄ et de S₅ respectivement. En déduire l’encadrement :

1,091≤ ∫ 0 1 e x 1+x dx≤1,164.

3 a. Démontrer que pour tout réel x de [0 ; 1], 1 1+x =1–x+ x 2 1+x.

b. Justifier l’égalité ∫ 0 1 e x 1+x dx = ∫ 0 1 (1–x) e x dx +I.

c. Calculer ∫ 0 1 (1–x) e x dx.

Une primitive sur ℝ de (1 – x)e^x est de la forme x ↦ (ax + b)e^x.

d. En déduire un encadrement de I= ∫ 0 1 x 2 e x 1+x dx d’amplitude strictement inférieure à 10^– 1.