Exercice

Partie A

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f( x )=x e 1– x 2 .

1 Calculer la limite de la fonction f en + ∞.

Indication

On pourra utiliser que pour tout réel x différent de 0, f(x)= e x × x 2 e x 2.

On admettra que la limite de la fonction f en – ∞ est égale à 0. 0,5 pt

2

a. On admet que f est dérivable sur ℝ et on note f′ sa dérivée.

Démontrer que pour tout réel x :

f ′ (x)=(1–2 x 2 ) e 1– x 2. 0,5 pt

b. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

Partie B

On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e^{1 – x}.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère du plan les courbes représentatives 𝒞_f et 𝒞_g respectivement des fonctions f et g.

Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes.

1 Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre ? 0,5 pt

2 Justifier que, pour tout réel x appartenant à ] – ∞ ; 0], f(x) < g(x). 0,5 pt

3 Dans cette question, on se place dans l’intervalle ]0 ; + ∞[.

On pose, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) = ln x – x² + x.

a. Montrer que, pour tout réel x strictement positif :

f(x) ≤ g(x) équivaut à Φ(x) ≤ 0. 0,5 pt

On admet pour la suite que f(x) = g(x) équivaut à Φ(x) = 0.

b. On admet que la fonction Φ est dérivable sur ]0 ; + ∞[. Dresser le tableau de variation de la fonction Φ. (Les limites en 0 et + ∞ ne sont pas attendues.) 0,5 pt

c. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, Φ(x) ≤ 0. 0,5 pt

4

a. La conjecture émise à la question 1 de la partie B est-elle valide ? 0,5 pt

b. Montrer que 𝒞_f et 𝒞_g ont un unique point commun, noté A. 0,5 pt

c. Montrer qu’en ce point A, ces deux courbes ont la même tangente. 0,5 pt

Partie C

1 Trouver une primitive F de la fonction f sur ℝ. 0,5 pt

2 En déduire la valeur de ∫ 0 1 ( e 1–x –x e 1– x 2 )dx. 0,5 pt

3 Interpréter graphiquement ce résultat. 0,5 pt