Exercice

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0, 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.

On note :

● 𝒞 la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal ;

● A₁ l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe 𝒞 d’une part, les droites d’équations x = 0 et x = a d’autre part ;

● A₂ l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe 𝒞 d’une part, les droites d’équations x = a et x = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) « les aires A₁ et A₂ sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A Étude de quelques exemples

1 Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a, et déterminer sa valeur :

a. f est une fonction constante strictement positive ; 0,25 pt

b. f est définie pour tout réel x de [0, 1] par f(x) = x. 0,25 pt

2 a. À l’aide d’intégrales, exprimer (en unité d’aire) les aires A₁ et A₂. 0,25 pt

b. On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 , 1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F(a)= F(0)+F(1) 2

La réciproque est-elle vraie ? 0,75 pt

3 Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a. La fonction f est définie pour tout réel x de [0 , 1] par f(x) = e^x.

Vérifier que la condition (E) est remplie pour un unique réel a, et déterminer sa valeur. 0,5 pt

b. La fonction f est définie pour tout réel x de [0 , 1] par f(x)= 1 (x+2) 2 .

Vérifier que la valeur a= 2 5 convient. 0,5 pt

Partie B Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0, 1] par :

f(x) = 4 – 3x².

1 Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

x= x 3 4 + 3 8 . 0,75 pt

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0, 1]. On note a cette solution.

2 On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0, 1] par :

g(x)= x 3 4 + 3 8

et la suite (u_n) définie par u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n :

u_{n + 1} = g(u_n).

a. Calculer u₁. 0,25 pt

b. Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0, 1]. 0,5 pt

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

0 ≤ u_n ≤ u_{n + 1} ≤ 1. 0,5 pt

d. Prouver que la suite (u_n) est convergente. À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est égale à a. 1 pt

e. On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a – u₁₀ < 10 ^{– 9}. Calculer u₁₀ à 10 ^– 8 près. 0,5 pt