Exercice

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Partie A

On considère la fonction g définie, pour tout réel x, par g(x) = e^x – x.

1 g' désigne la dérivée de g. Donner, pour tout réel x, g'(x).

2 Donner l’ensemble des solutions réelles de l’inéquation g'(x) ≥ 0. Justifier la réponse.

3 Dresser le tableau des variations de g.

(Les limites de g en + ∞ et en – ∞ ne sont pas demandées).

4 Justifier que, pour tout réel x, g(x) > 0.

Partie B

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par :

f(x)= e x e x –x .

On note 𝓒 la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; i → , j → ).

1 a. Déterminer lim x→–∞ f(x). Justifier la réponse.

b. Que vaut lim x→+∞ x e x ? En déduire lim x→+∞ f(x). Justifier la réponse.

c. On en déduit que 𝓒 admet deux asymptotes Δ₁ et Δ₂.

Donner une équation de chacune d’elles.

2 f' désigne la dérivée de f. Justifier que, pour tout réel x :

f ′ (x)= e x (1–x) ( e x –x) 2 .

3 a. Dresser le tableau des variations de f.

b. f présente un maximum y_M atteint en x_M. Donner les valeurs exactes de x_M et y_M, puis une valeur approchée de y_M à 10^– 1 près.

Dans la suite, on note M le point de coordonnées (x_M, y_M).

4 Soit A le point de la courbe 𝓒 d’abscisse 0.

Donner une équation de la tangente à 𝓒 en A.

5 Placer les points A et M. Tracer les tangentes à la courbe 𝓒 aux points A et M et les asymptotes Δ₁ et Δ₂. Puis tracer 𝓒.

6 f admet sur l’intervalle [0, 1] un minimum a et un maximum b.

Donner les valeurs exactes de a et b.

7 On considère l’intégrale J= ∫ 0 1 f(x)dx.

a. Hachurer, sur la figure de la question 5, le domaine dont l’aire, en unités d’aire, vaut J.

b. En utilisant la question 6, justifier que 1≤J≤ e e–1.