Exercice

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l’utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.

Partie A

L’objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.

Initialement, 40 % des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL. Suite à l’instauration de la taxe, l’évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.

L’étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :

3 % des automobiles circulant dans la zone ZTL n’y circulaient plus le mois suivant.

0,2 % des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.

On note Z l’état « l’automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois » et Z ¯ l’état « l’automobile n’a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois ».

Pour tout entier naturel n, on note :

a_n la proportion d’automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;

b_n la proportion d’automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du n-ième mois ;

P_n = (a_n   b_n) la matrice ligne donnant l’état probabiliste après n mois.

On a a_n + b_n = 1 et P₀ = (0,4   0,6).

1 Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets Z et Z ¯.

2a. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe (la première colonne concerne Z et la deuxième colonne Z ¯).

b. Vérifier que P₁ = (0,3892   0,6108).

3 L’objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?

Partie B

Un réseau de navettes gratuites est mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.

Le graphe ci-dessous indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.

1 Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?

2 Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?

3 Déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G.