Exercice

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction B définie sur [0 ; 10] par :

B( x )=x+4 e −x −5

où x représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et B( x ) représente le bénéfice en milliers d’euros.

1 a. Déterminer B ′ ( x ), où B ′ désigne la fonction dérivée de la fonction B.

b. Démontrer que B ′ ( x ) s’annule uniquement pour x=ln( 4 ).

c. Calculer les valeurs exactes de B( 0 );B( 10 )et B( ln( 4 ) ).

d. Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 10].

2 a. Justifier que l’équation B( x )=0 possède une solution unique α sur [ ln( 4 );10 ].

b. Donner une valeur approchée à 10^– 2 de α.

3 À partir de combien d’unités produites et vendues l’entreprise sera-t-elle bénéficiaire ?