Exercice

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O; i → , j → ) d’unité graphique 2 cm.

On s’intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l’ensemble des réels ℝ par :

f( x )=−1+x e x.

On note 𝒞 sa courbe représentative dans le repère ( O; i → , j → ).

1 On admet que la fonction f est dérivable sur ℝ et on note f ′ sa fonction dérivée.

a.  Montrer que, pour tout nombre réel x, f ′ ( x )=( x+1 ) e x.

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10 −2).

2 Justifier que l’équation f( x )=0 admet dans l’intervalle [ 0;1 ] une unique solution α.

Donner un encadrement de α d’amplitude 10 −2.

3 Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d’abscisse 0 est y=x−1.

4 Dans le repère ( O; i → , j → ), tracer la droite T et la courbe 𝒞.

Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe 𝒞 par rapport à la droite T ?

5 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Justifier la conjecture émise à la question 4.