2Fonction exponentielle, Intégrale1 h 10
France métropolitaine, septembre 2014
Fonctions
Intégration
Exercice
6ptsSur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé (O ; →i, →j), une courbe 𝒞 et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (–1; 3).
On désigne par f la fonction dérivable sur ℝ dont la courbe représentative est 𝒞.
On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réel x :
f(x) = x + 1 + axe–x2.
1 a. Justifier que la courbe 𝒞 passe par le point A.
b. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
c. Démontrer que pour tout réel x :
f′(x) = 1 – a(2x2 – 1)e–x2.
d. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe 𝒞 au point A.
Déterminer la valeur du réel a.
2 D’après la question précédente, pour tout réel x :
f(x) = x + 1 – 3xe–x2 et f′(x) = 1 + 3(2x2 – 1)e–x2.
a. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ]– 1; 0], f (x) > 0.
b. Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à – 1, f ′(x) > 0.
c. Démontrer qu’il existe un unique réel c de l’intervalle [– 32; – 1] tel que :
f (c) = 0.
Justifier que c < – 32 + 2 ⋅ 10– 2.
3 On désigne par 𝒜 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par :
c ≤ x ≤ 0 et 0 ≤ y ≤ f (x).
a. Écrire 𝒜 sous la forme d’une intégrale.
b. On admet que l’intégrale I = ∫0– 32f(x) dx est une valeur approchée de 𝒜 à 10– 3 près.
Calculer la valeur exacte de l’intégrale I.
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