Exercice

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f(x)= 1 1+ e 1–x .

Partie A

1 Étudier le sens de variation de la fonction ƒ sur l’intervalle [0 ; 1]. 0,5 pt

2 Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] :

f(x)= e x e x +e

(on rappelle que e = e¹). 0,5 pt

3 Montrer alors que ∫ 0 1 f(x)dx=ln(2)+1–ln(1+e) . 0,75 pt

Partie B

Soit n un entier naturel. On considère les fonctions f_n définies sur [0 ; 1] par :

f n (x)= 1 1+n e 1–x .

On note 𝓒_n la courbe représentative de la fonction f_n dans le plan muni d’un repère orthonormé.

On considère la suite de terme général :

u n = ∫ 0 1 f n (x)dx .

1 On a tracé ci-après les courbes représentatives des fonctions f_n pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 𝓒₀ représentative de la fonction ƒ₀. 0,5 pt

2 Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement u_n et préciser la valeur de u₀. 0,5 pt

3 Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (u_n) ? Démontrer cette conjecture. 0,75 pt

4 La suite (u_n) admet-elle une limite ? 0,5 pt