Exercice

Partie A

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = xe^1 – x

1 Vérifier que pour tout réel x, f(x)=e× x e x.

2 Déterminer la limite de la fonction f en – ∞.

3 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement cette limite.

4 Déterminer la dérivée de la fonction f.

5 Étudier les variations de la fonction f sur ℝ, puis dresser le tableau de variation.

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g_n et h_n définies sur ℝ par :

g_n(x) = 1 + x + x² + … + xⁿ et h_n(x) = 1 + 2x + … + nx^n – 1.

1 Vérifier que, pour tout réel x, (1 – x)g_n(x) = 1 – x^n + 1.

On obtient alors, pour tout réel x ≠ 1, g n (x)= 1– x n+1 1–x.

2 Comparer les fonctions g′_n et h_n, g′_n étant la dérivée de la fonction g_n.

En déduire que, pour tout réel x ≠ 1, h n (x)= n x n+1 –(n+1) x n +1 (1–x) 2.

3 Soit S_n = f(1) + f(2) + … + f(n), f étant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de S_n, puis sa limite quand n tend vers + ∞.