Exercice

Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.

Voici ce schéma :

Partie A Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe 𝒞 représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = (ax + b)e^–x où a et b sont deux entiers naturels.

La courbe 𝒞 est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre.

1 On souhaite que la tangente à la courbe 𝒞 en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b. 0,75 pt

2 On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a. 0,75 pt

Partie B Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ [1 ; 8] par f (x) = 10x e^– x.

Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1 Soit g la fonction définie sur [1 ; 8] par g(x) = 10(– x – 1)e^– x. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g. 0,5 pt

2 Quel est le montant du devis de l’artiste ? 0,75 pt

Partie C Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.

On considère un point M de la courbe 𝒞, d’abscisse différente de 1. On appelle α l’angle aigu formé par la tangente en M à 𝒞 et l’axe des abscisses.

La figure suivante illustre la situation.

Les contraintes imposent que l’angle α soit inférieur à 55 degrés.

1 On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 8], f ′(x) = 10(1 – x)e^– x. Étudier les variations de la fonction f ′ sur l’intervalle [1 ; 8]. 0,75 pt

2 Soit x un réel de l’intervalle ]1 ; 8] et soit M le point d’abscisse x de la courbe 𝒞. Justifier que tan α = | f ′(x)|. 0,75 pt

3 Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ? 0,75 pt