Exercice

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 10] par :

f(x) = 10ln(x + 1) – x.

Partie A

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10].

1 Justifier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; 10].

2 Donner les valeurs de f(9) et de f(10) arrondies au centième.

3 Montrer que l’équation f(x) = 10 admet dans l’intervalle [0 ; 9] une unique solution α. Déterminer un encadrement de α à 10^– 2 près.

4 On considère la fonction F définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 10] par :

F(x)=(10x+10)×ln⁡(x+1)–10x– x 2 2 .

Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10].

Partie B

Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de x centaines de puces (0 ≤ x ≤ 10) est donné en centaines d’euros par :

f(x) = 10ln(x + 1) – x.

1 En utilisant la partie A, déterminer le nombre de puces que l’entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum.

2 Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10], on note C(x) le coût total de production, en centaines d’euros, de x centaines de puces.

On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c’est-à-dire que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10], Cʹ(x) = f(x).

Les coûts fixes s’élèvent à 1 500 euros, c’est-à-dire que C(0) = 15.

Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10] :

C(x)=(10x+10)×ln⁡(x+1)–10x– x 2 2 +15 .

3 Étudier le sens de variation de la fonction C sur l’intervalle [0 ; 10].