Exercice

Les parties A et B ne sont pas indépendantes.

Partie A

On considère la fonction f définie sur [1 ; 11] par :

f(x) = – 0,5x² + 2x + 15lnx.

1 Montrer que f ′ ( x )= − x 2 +2x+15 x où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. 0,5 pt

2 Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 11]. On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau. 0,5 pt

3 a. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; 11]. 0,75 pt

b. Donner une valeur approchée de α à 0,01 près. 0,75 pt

c. Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x dans l’intervalle [1 ; 11]. 0,5 pt

4 a. On considère la fonction F définie sur [1 ; 11] par :

F(x) = − 1 6x³ + x² - 15x + 15xlnx.

Montrer que F est une primitive de la fonction f. 0,5 pt

b. Calculer ∫ 1 11 f( x )dx. On donnera le résultat exact, puis sa valeur arrondie au centième. 0,5 pt

c. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 11]. On donnera la valeur arrondie au centième. 0,5 pt

Partie B

Une société fabrique et vend des chaises de jardin. La capacité de production mensuelle est comprise entre 100 et 1 100 chaises. Le bénéfice mensuel réalisé par la société est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre de centaines de chaises de jardin produites et vendues et f(x) représente le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros. On précise qu’un bénéfice peut être positif ou négatif, ce qui correspond, dans ce deuxième cas, à une perte.

1 Quelle quantité de chaises la société doit-elle produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel positif ? 0,75 pt

2 Déterminer le nombre de chaises que la société doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice mensuel maximal. 0,75 pt