Exercice

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par u(x) = ln(x) + x – 3.

1 Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; + ∞[. 0,5 pt

2 Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution α comprise entre 2 et 3. 1 pt

3 En déduire le signe de u(x) en fonction de x. 0,5 pt

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

f(x)=( 1– 1 x )(ln(x)–2)+2.

On appelle 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1 Déterminer la limite de la fonction f en 0. 0,5 pt

2 a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; + ∞[, f ′ (x)= u(x) x 2 où u est la fonction définie dans la partie A . 1 pt

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; + ∞[. 0,5 pt

Partie C

Soit 𝒞′ la courbe d’équation y = ln(x).

1 Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; + ∞[ :

f(x)–ln(x)= 2–ln(x) x.

En déduire que les courbes 𝒞 et 𝒞′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. 1 pt

2 On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

H(x)= 1 2 (ln(x)) 2

est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

h(x)= ln(x) x.

Calculer I= ∫ 1 e 2 2–ln(x) x dx.

Interpréter graphiquement ce résultat. 1 pt