Exercice

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 6].

ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2 ; 0) et le point C a pour coordonnées (4 ; 0).

Partie A

Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d’une lecture graphique.

1 Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) > 0. 0,5 pt

2 Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6]. 0,5 pt

3 Quel semble être le signe de f ʹ(x) sur l’intervalle [2 ; 6] ? Justifier. 0,75 pt

4 Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d’inflexion ? 0,75 pt

5 Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de ∫ 1 4 f( x )dx . 0,75 pt

Partie B

La fonction f est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :

f( x )=( 10x−5 ) e −x .

Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) :

f ′ ( x )=( −10x+15 ) e −x et       f ′ ′ ( x )=( 10x−25 ) e −x .

1 Dresser le tableau de variation de f en précisant la valeur de l’extremum et les valeurs aux bornes de l’ensemble de définition. 0,75 pt

2 Étudier la convexité de f sur l’intervalle [0 ; 6]. 1 pt

3 Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 6] par :

F(x) = (– 10x – 5)e^–x

est une primitive de f sur l’intervalle [0 ; 6]. 0,5 pt

4 En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de :

∫ 2 4 f( x )dx . 0,75 pt

5 On souhaiterait que l’aire du rectangle ABCD soit égale à l’aire du domaine colorié sur la figure. Déterminer à 0,01 près, la hauteur AD de ce rectangle. 0,75 pt