Exercice

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f(x) = lnx.

Pour tout réel a strictement positif, on définit sur ]0 ; + ∞[ la fonction g_a par :

g_a(x) = ax².

On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f et Γ_a celle de la fonction g_a dans un repère du plan. Le but de l’exercice est d’étudier l’intersection des courbes 𝒞 et Γ_a suivant les valeurs du réel strictement positif a.

Partie A

On a construit ci-dessous les courbes 𝒞, Γ_0,05, Γ_0,1, Γ_0,19 et Γ_0,4.

1 Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n’est demandée. 0,75 pt

2 Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersection de 𝒞 et Γ_a suivant les valeurs (à préciser) du réel a. 0,75 pt

Partie B

Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h_a définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
h_a(x) = lnx – ax².

1 Justifier que x est l’abscisse d’un point M appartenant à l’intersection de 𝒞 et Γ_a si et seulement si h_a(x) = 0. 0,5 pt

2 a. On admet que la fonction h_a est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et on note h ′ a la dérivée de la fonction h_a sur cet intervalle.

Le tableau de variation de la fonction h_a est donné ci-dessous.

Justifier, par le calcul, le signe de h ′ a (x) pour x appartenant à ]0 ; + ∞[.

b. Rappeler la limite de lnx x en + ∞. En déduire la limite de la fonction h_a en + ∞. On ne demande pas de justifier la limite de h_a en 0. 0,5 pt

3  Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a = 0,1.

a. Justifier que, dans l’intervalle ] 0; 1 0,2 ], l’équation h_0,1(x) = 0 admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l’intervalle ] 1 0,2 ;+∞ [. 0,75 pt

b. Quel est le nombre de points d’intersection de 𝒞 et Γ_0,1 ? 0,5 pt

4  Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a= 1 2e.

a. Déterminer la valeur du maximum de h 1 2e. 0,5 pt

b. En déduire le nombre de points d’intersection des courbes 𝒞 et Γ 1 2e. Justifier. 0,5 pt

5  Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles 𝒞 et Γ_a n’ont aucun point d’intersection ?

Justifier. 0,75 pt