Exercice

La courbe (𝓒) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5 ; 6]. Les points A(l ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe (𝓒).

Les tangentes à la courbe (𝓒) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.

On note f′ la fonction dérivée de f .

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A Étude graphique

1 Déterminer f′(l,5). 0,5 pt

2 La tangente à la courbe (𝓒) au point A passe par le point de coordonnées (0 ; 2). Déterminer une équation de cette tangente. 0,5 pt

3 Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (𝓒), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 2. 0,75 pt

4 Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5 ; 6]. Argumenter la réponse. 0,75 pt

Partie B Étude analytique

On admet que la fonction f est définie sur [0,5 ; 6] par :

f(x) = − 2x + 5 + 3ln(x).

1 Pour tout réel x de [0,5 ; 6], calculer f′(x) et montrer que :

f ′ ( x )= −2x+3 x .                0,5 pt

2 Étudier le signe de f′ sur [0,5 ; 6], puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5 ; 6]. 0,75 pt

3 Montrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement une solution α sur [0,5 ; 6].

Donner une valeur approchée de α à 10^- 2 près. 0,75 pt

4 En déduire le tableau de signes de f sur [0,5 ; 6]. 0,5 pt

5 On considère la fonction F définie sur [0,5 ; 6] par :

F(x) = − x² + 2x + 3x ln(x).

a. Montrer que F est une primitive de f sur [0,5 ; 6]. 0,5 pt

b. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe (𝓒), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. 0,5 pt