Vrai – Faux

Calculatrice interdite ; répondre par Vrai ou Faux sans justification ; + 1 si bonne réponse, – 1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

Soit f la fonction définie sur D f =ℝ\{ 1 2 } par f(x)= x 2 2x–1 de courbe représentative (Γ) et I=] 1 2 ;+∞ [.

a. Pour tout réel x ∈ D_f , f ′ (x)=– 2x(1–x) (1–2x) 2.

b. (Γ) admet deux tangentes parallèles à la droite (Δ) d’équation y = – x + 5.

c. Si x ∈ I, la fonction k : x ↦ ln( f(x)) admet comme dérivée la fonction :

k ′ :x↦ 2 x – 2 2x–1.

d. Pour tout n ∈ ℕ, on définit la suite (u_n) par { u 0 =3 u n+1 = u n 2 2 u n –1

Afin d’étudier le sens de variation de la suite (u_n), on effectue le raisonnement suivant :

« Pour tout n ∈ ℕ, on souhaite démontrer la relation “u_n + 1 – u_n ≥ 0”.

Si x ∈ I, alors f′(x) > 0 et la fonction f est strictement croissante sur I.

Supposons que la relation soit vraie à un certain rang k ∈ ℕ, c’est-à-dire u_k + 1 – u_k > 0.

Par définition de la suite (u_n), nous avons u_k + 2 = f (u_k + 1) et u_k + 1 = f (u_k) avec f strictement croissante sur I ; donc si u_k + 1 > u_k alors nous pouvons en déduire que u_k + 2 = f (u_k + 1) > u_k + 1 = f (u_k) soit u_k + 2 > u_k + 1, ce qui nous permet de conclure que la relation est vraie au rang k + 1.

Conclusion : la relation est héréditaire et, comme la fonction f est strictement croissante sur I, nous pouvons en déduire que la suite (u_n)_n ≥ 0 est strictement croissante ».

Ce raisonnement est correct.